Проблема решилась установкой php56w-devel.

Погуглил на английском и нашел решение здесь. :) Тот, что помечен "лучшим ответом", сделал через Apache конфиг, как раз где вся информация о виртуальных хостах хранится. Только получается, этот запрет для 80 порта (HTTP) только и работает. Но мне этого и достаточно. Спасибо и Вам большое за помощь!

Перенаправил вывод об ошибках в /var/log/cron (ОКАЗЫВАЕТСЯ ЭТО НАДО ДЕЛАТЬ:D), в итоге все выполняется (архивируется) как и прежде, подробно в лог пишется процесс, и затем все заканчивается этим: /bin/sh: supload: command not found , то бишь действительно что-то с окружением. Команду не понимает... (соответственно последнюю команду rm он не выполняет, т.к. предыдущая команда не выполнилась).

Проблема оказалась, безусловно, в незнании основ работы с сервером (только познаю все это дело, т.к. раньше работал максимум с ISP Manager и там проблем особо не возникало с тем же резервным копированием).

В общем, оказалась проблема в окружении. Спасибо Сергею. supload не работал, т.к. находился в /usr/local/bin , а все команды основные находятся в /usr/bin . Перенес supload в /usr/bin и все заработало. Архив отсылается на удаленный сервер, затем удаляется с локального.

Буду осваивать работу с linux, читать книжки и мануалы, спасибо:3

Update. В связи с тем, что подключено проксирование (анти-ддос), iptables нельзя полноценно использовать на сервере, так мне ответили в тех.поддержке хостинг-провайдера.