Можно ли найти работу c# программистом студенту?

Либо вы работали c WebForms (причем плохо организованным проектом), либо чего-то не поняли в MVC.
Писать на MVC, да еще и на самом дружелюбном языке — бесценно))

Что выбрать для изучения программирования под веб с нуля сегодня?

Сейчас ведь нет никакой среды как раньше, вроде Delphi для веба, где можно было легко и быстро набросать интерфейс приложения и начать описывать реакцию его на действия пользователей (и дополнительные функции, которые требовались приложению). И таким образом понять как все работает, при этом уже создавая то, что тебе нужно.

Если вам будет удобней такой старт обучения — тогда вам прямая дорога в ASP.NET WebForms. Разработка для веба «а-ля десктоп» — это конек именно этой технологии (используя Visual Studio). Но долго засиживаться на ней тоже не стоит.

Получив базу С#, ASP.NET, .NET, можно с легкостью перейти на ASP.NET MVC (причем с некоторыми усилиями и на WinForms, WPF-Silverlight), а эта технология в последнее время вбирает в себя лучшее ото всех других. Как в общем-то и сам С#.

Это что касается сервер-сайда — тут у вас большой выбор. Ну а html, css, js (jquery) учить придется по-любому.