Pavel

<button type="submit" id="button">Открыть</button>

function test_modal() {
$('#button').click();
}
test_modal();

или

function test_modal() {
$('#myModal').modal('show');
}
test_modal();

потому что картинка по умолчанию строчный (инлайновый) элемент. Все инлайновые элементы воспринимаются как строки текста, а так как у текста (у отдельных символов, например символ "y" имеет снизу "хвостик" ) то браузер специально добавляет отступы снизу-сверху, чтобы символы полностью поместились в строку по высоте. Поэтому, что бы картинка воспринималась не как строчный, а как блочный элемент надо задавать для неё правило display: block

jsfiddle.net/p2btx682

.dayn {
    background-color: grey;
    text-align: center;
}

https://jsfiddle.net/ojew0aco/1/

Нажмите на сайте кнопку помощь, там указаны исходники на github

Совет на всю жизнь:
Когда у вас возникает вопрос по функциям / конструкциям в PHP (и др.), сначала стоит посмотреть мануал.
Если уж совсем не понятно будет, тогда спрашивайте.

Переходим на ru.php.net/manual/ru

isset - это проверка на существование, в данном случае по русски будет:
<?php if (isset($_REQUEST['go'])):?>
если $_REQUEST['go'] - существует (isset)
, то вывести на страницу
Привет, <?=$_REQUEST['name']?>!, а иначе все остальное после else, то есть форму.