Как скомпилировать SCSS на клиенте с помощью JS?

lightalex,
import sass from 'sass'

sass.renderSync({
data: 'string',
})
.css.toString()

Так же стоит учесть что вам возможно могут понадобиться модули postcss и autoprefixer, если я правильно понимаю вашу задумку

Дочитал вашу проблему. Возможно если указать в конфигурации webpack target: 'node', это исправит ситуацию.
Так же удостоверьтесь что модуль sass находится в dependencies, а не в devDependencies