demiash

Никак. На то это и внутренняя ошибка, что клиенту ничего про нее знать не нужно. В браузере вы можете что-то видеть только если сервер запущен с тестовой конфигурацией (когда в случае ошибки отображает страницу со стектрейсом).

UPD

нужное вам поведение можно получить как-то так:

[ApiController]
    public class TestController : ControllerBase
    {
        [HttpGet]
        public Task ChangeStatus()
        {
            throw new Exception("My test exception");
        }
    }

public class HttpResponseExceptionFilter : IActionFilter, IOrderedFilter
{
        public void OnActionExecuted(ActionExecutedContext context)
        {
            if (context.Exception != null)
            {
                context.Result = new ObjectResult(new
                {
                    ErrorText = context.Exception.Message,
                    Stacktrace = context.Exception.StackTrace
                })
                { StatusCode = (int)HttpStatusCode.BadRequest };

                context.Exception = null;

                return;
         }
}

тогда дергнув контроллера вы обратно получите 400ую ошибку с контентом

{
"errorText": "My test exception",
"stacktrace": "stacktrace was here"
}

UPD2:
ну и насколько я помню (а я могу быть не прав, но не могу перепроверить сейчас) - HttpWebRequest будет кидать ексепшн для всех не 200 хттп статусов. Потому возможно стектрейс прийдется доставать не очень красиво

WebRequest request = ...;
try
{
  using var response = request.GetResponse();
  ...
}
catch (WebException e)
{
  using var webResponse = (HttpWebResponse)e.Response;
  var code = webResponse.StatusCode;
  var body = ...;

  //...

}

или использовть HttpClient, который ексепшн кидает только если попросить