dedalqq

1. Вы сами на вашей стороне (стороне сервера) можете готовить какой-нибудь zip архив с файлами, выкладывать его куда то. А на стороне клиента реализовать простую операцию: скачать архив если он доступен по ссылке, распаковать в корень. Так заменятся все файлы, что есть в архиве (опционально можно запускать какой то специальный скрипт из архива для миграций)
2. Можно пойти чуть дальше. и готовить rpm или deb пакеты, и делать все тоже самое что и в первом пункте, так как первый пункт - это по большому счету велосепедизм.
3. Если на клиентской стороне есть какая то система контроля версий то можно все делать через нее, просто запускать какой-нибудь "git pull" - это самый быстрый наколеночный вариант.

во-первых: не ясно как работает метод getOneUserWhoSearchingGame и как вы шарите данные о пользователях между клиентскими сессиями. В php каждая сессия изолированна от другой. Немногое, что можно тут придумать, это использовать базу, кэш, или какой то другой внешний ресурс.
Во-вторых: такие вещи очень странно писать на php. php хорошо, для чего то простого, когда к вам пришли с каким то запросом, вы его тут же отработали и все. Так что я бы вам ооочень порекомендовал отказаться от php и посмотреть на что то другое, например: Go, Python, Java... даже, не худой конец NodeJS прости госпади =)
На php конечно можно это сделать, но это будет мир костылей

Если вы отправили заголовки то все, ничего уже не изменить. По этому остается только в начале полностью обработать запрос пользователя, и потом формировать ответ и, как варинт, просто буфиризировать в переменную (это если в лоб). После этого уже отдавать заголовки и тело страницы из буфера (так как тут точно ошибок, заставляющих менять тело ответа не будет) А вообще, видимо вы не разделяете бизнес логику и формирование ответа. Формирование конечной страницы не должно быть написано так, что вызывает ошибки. Хорошей практикой избежание этого перемешивание может быть использование шаблонизаторов.

Когда у вас загрузка в браузере к вашему апачу завершилась по таймауту, именно в этот момент у вас порвалось соединение к imap серверу. Не смотрите на процессы апача, они с этим почти не связаны, смотрите на то какие порты открываются у вас на этой машине для исходящих соединений. Связка апачь + php так работает, что как только запрос к этому самому апач закончился (по таймауту или не важно по чему еще) как таковой php процесс (не путайте с процессом ОС) тоже закончил свою работу, и как следствие, все открытые ресурсы (в данном случае коннект к imap) закрылись. Это ни как не связано с тем что вы видите в процессах апач в свой ОС