Судя по вашему вопросу, как я понял, вам необходимо отправить POST-запрос уже находясь на странице после навигации. Для этого вам нужно воспользоваться методом evaluate()
Документация.
Метод позволит вам выполнять JS-код в контексте браузера поднятым playwright'ом.
Далее вам просто нужно сделать fetch или XHR на необходимый эндпоинт с необходимыми для вас заголовками.