Ао

в пхп выведите до if

echo json_encode($_POST);
и алерт покажет вам что приходит в пхп

Примеров полно в интернете, из браузера вы отправляете ajax запрос серверу например через fetch? браузер возвращает ваш html вы его вставляете куда вам нужно на странице. Как Вы это реализуете на сервере другой вопрос. Так же стоит потрудиться и погуглить. На сайте mozilla есть пример ajax навигации с такой реализацией

Один
Два

А чё его изучать ? из браузера вы отправляете запрос серверу, сервера вам отправляет ответ, вы его в браузере обрабатываете. Просто без перезагрузки страницы целиком Что там изучать ?
Альтернатива наверное websocket, только по сути смысл тот же

Добавьте имя форме, и на кнопку проверить повести событие onclick="checkData(event)", в функции checkData выполните проверку и выведите результат куда надо

<form method="POST" id="fors" action="" name="formName"  >
<input type="text" name="sum" value="">
<input onclick="checkDataAjax(event)" type="button"  value="Проверить данные">
<input type="submit" id="btn" name="sum" value="Отправить" />
</form>
<div id="target"></div>

function checkDataAjax(event){
  event.preventDefault(); 
  form = new FormData(document.formName);
  let options = {
                method: "POST",               
                body:formData,
                credentials: "include",
                mode: 'cors'
            };
       let URL = "АдресВашегоСервера";
			let request = new Request(URL, options);
			
            fetch(request, options).then(function (response) {				
                return response.json();
            }).then(function (response) {
               document.getElementById('target').innerHTML = response;
            }).catch(function (error) {
              console.log(error);          
            });
  
}

Demo

Только на сервере не $_GET а $_POST

<?php
$sum = $_POST["sum"];
if(!$sum)
{$sum = "Вы ничего не написали";}
echo $sum;
?>