centropull

Например, так:

function makeUrl(&$arr, $name) {
  if (!isset($arr[$name]['url'])) {
    if ('' == $arr[$name]['parent']) {
      $arr[$name]['url'] = $arr[$name]['alias'];
    } else {
      $arr[$name]['url'] = makeUrl($arr, $arr[$name]['parent']) . '/' .  $arr[$name]['alias'];
    }
  }
  return $arr[$name]['url'];
}

foreach (array_keys($arr) as $name) {
  makeUrl($arr, $name);
}

Если примитивно и не вникать в детали:

<?php

$arr = ['Массив' =>
  [
    'purchases' => 'Покупки',
    'food' 	=> 'Еда',
    'vegetables' => 'Овощи',
    'carrot' 	=> 'Морковка',
  ]
];


$newArr = [];
$prevUri = "";
foreach ( $arr['Массив'] as $key => $name ) {
	$uri = $prevUri ? "{$prevUri}/{$key}" : $key;
	$newArr['Массив'][$key] = [
		'name' => $name,
		'uri' => $uri,
	];
	$prevUri = $uri;
}

print_r($newArr);

Результат:

Array
(
    [Массив] => Array
        (
            [purchases] => Array
                (
                    [name] => Покупки
                    [uri] => purchases
                )

            [food] => Array
                (
                    [name] => Еда
                    [uri] => purchases/food
                )

            [vegetables] => Array
                (
                    [name] => Овощи
                    [uri] => purchases/food/vegetables
                )

            [carrot] => Array
                (
                    [name] => Морковка
                    [uri] => purchases/food/vegetables/carrot
                )

        )

)

Как должна выглядеть функция, чтоб рекурсия происходила внутри функции, а не на саму функцию.

Рекурсия - это и есть вызов функции из нее же. Вы, конечно, можете создать функцию, которая будет вызывать рекурсивную функцию, но тогда функция с рекурсией никуда не денется.
С другой стороны, любую функцию можно переписать без использования рекурсии.
Например так:

function parents($tree, $childKey) {
    $parents = [];     
    $endOfTree = false;
    $minLevel = 1;
    $currentLevel = 1;
    $parentBranches = [];
    $branch = $tree;
    $branchKey = key($branch);
    $branchValue = current($branch);
    
    while (!$endOfTree) {      
        // Обработка текущего элемента
        if (strpos($childKey, $branchKey . ".") === 0 && $branchKey !== $childKey) {
            $parents[] = (string)$branchKey;
        }
        
        // Переключение ветки на внутренни уровень, если он есть
        if (is_array($branchValue) && !empty($branchValue)) {
            $currentLevel++;
            $parentBranches[] = $branch;
            $branch = $branchValue;                        
            $branchKey = key($branch);
            $branchValue = current($branchValue);
            continue;
        } 

        //  Переключение на следующий элемент
        $branchValue = next($branch);
        $branchKey = key($branch);
        
        // В случае, если следующего элемента нет, возврат на уровень выше или завершение цикла
        if ($branchValue === false) { 
            $branch = array_pop($parentBranches);
            $currentLevel--;
            
            // Возврат на уровень выше, если это возможно
            if ($currentLevel >= $minLevel) {
                $branchValue = next($branch);      
                $branchKey = key($branch);    
            // Завершение цикла, если уровень минимальный
            } else {
                $endOfTree = true;
            }
        }
    }
    
    // Смена направления массива и возвращение результата
    return array_reverse($parents);
}



// Проверка
parents($tree, '1.3.2.2'); 
/*
array(3) {
  [0]=>
  string(5) "1.3.2"
  [1]=>
  string(3) "1.3"
  [2]=>
  string(1) "1"
}
*/