Проблема заключалась в переменной $message. Видимо телеграм не может вывести таблицу.
Добавил еще одну переменную $txt:
foreach ( $_POST as $key => $value ) {
if ( $value != "" && $key != "project_name" && $key != "admin_email" && $key != "form_subject" ) {
$message .= "
" . ( ($c = !$c) ? '<tr>':'<tr style="background-color: #f8f8f8;">' ) . "
<td style='padding: 10px; border: #e9e9e9 1px solid;'><b>$key</b></td>
<td style='padding: 10px; border: #e9e9e9 1px solid;'>$value</td>
</tr>
";
$txt .= "<b>".$key."</b> ".$value."%0A";
}
}
$sendToTelegram = fopen("https://api.telegram.org/bot{$token}/sendMessage?chat_id={$chat_id}&parse_mode=html&text={$txt}","r");