Я получил предметный ответ от Госуслуг. Проблема в том, что токен, который я использую - Aladdin Token JC.
Он не поддерживается актуальной версией плагина Госуслуг для подписания документов. Список поддерживаемых токенов здесь:
https://ds-plugin.gosuslugi.ru/plugin/upload/
Предыдущая версия плагина Госуслуг (с которой Aladdin работал) не дает даже зайти в свою учетную запись.
Кстати, список токенов прямо на странице загрузки плагина. Все-таки полезно внимательно читать документацию. :-)