body9

Если я правильно понял вопрос. Я бы сделал так:
Как сказано выше, ставим обработчик клика (в данном случае на элемент <a>);

$('a').on('click', function (e) { 
let elem = e.target;
// в этом элементе будет храниться элемент, на который нажали (например, нажали на тест2)
let name = elem.text();
// теперь мы знаем, на что нажал пользователь (в name храниться значение <a> - "тест2")
// дальше делаем запрос на сервер (через ajax)
$.ajax({url:"example.php", 
      data:name, 
      success:function(result){
         console.log(result) 
// здесь будут храниться все данные о "тест2". Дальше обрабатываем как нужно
      }
   });
}

Дальше вам нужно настроить файл example.php.

<?php
$name = $_POST['name']; 
// принимаем то, что отправили ajax'ом
$mysqli = new mysqli("localhost", "my_user", "my_password", "world");
// подключаем базу и делаем запрос
$result = mysql_query("SELECT * FROM table WHERE name = '".$name."'");

При отправке этого json пользователю придет сообщение и кнопка. В этом json вы передаете параметр "callback_data" со значением "art". Когда пользователь нажмет на кнопку, вам на сервер придет ответ от Telegram типа update (смотри документацию https://core.telegram.org/bots/api#update ). Там есть параметр callback_query, а в нем data. В этом параметре будет ваше значение "art", которое вы передавали. То есть вы просто ждете ответа от телеграмма, который придет на ваш адрес (привязанный по setWebhook). И если data = "art", то вы делаете то, для чего нужна была кнопка - формируете сообщение от бота, например

{
"chat_id":"чат айди",
"text":"Текст-ответ на кнопку",
}