Все нашел ответ на свой вопрос:
1) Кронтаб нужно запускать так: sudo crontab -e - это нужно чтобы cron запускал скрипты из под root.
2) Инструкции для cron должны быть такими. Нужно обязательно писать bash перед указанием пути к скрипту. После указания пути к скрипту дописать >/dev/null 2>&1
Пример:
0 1 * * * bash /bin/bash /usr/share/script.sh >/dev/null 2>&1
0 2 * * * bash /bin/bash /usr/share/script2.sh >/dev/null 2>&1
* * * * 1 bash /bin/bash /usr/share/script3.sh >/dev/null 2>&1
#!/bin/bash
rsync --archive /home/share --delete /mnt/backup/neon_backup
rsync --archive /var/www/html/vtgr --delete /mnt/backup/neon_backup
3) Сами скрипты действительно должны быть лишены sudo, так как и так запускаются из под пользователя root.
Пример:
#!/bin/bash
cd /mnt/backup/neon_backup/MySQL_backup
mysqldump -u root -pnppwd --all-databases > mysql_backup.sql
set > /tmp/script-environment
tar cvjf back_mysql.tar.bz2 mysql_backup.sql
