Алексей 〒.

Потому что вы неверно формируете список пользователей.
Нужно составлять список кортежей для отдельного пользователя, а не для каждого поля
users = [(surname, name, patronymic, number)]
Так можно отправлять сразу 2 и более пользователей

users = [
  (surname, name, patronymic, number), 
  (surname, name, patronymic, number)
]

Для одного можно без списка просто передать отдельно каждое поле

cursor.executemany("INSERT INTO telephone_book VALUES(?, ?, ?, ?);", surname, name, patronymic, number)

Для бота лучше конечно полноценную базу использовать. Но раз критично именно sqlite, то ознакомьтесь с нюансами блокировок в официальном wiki

Как временное решение можете с timeout поиграться:

conn = sqlite3.connect(database, timeout=7) # стандартный таймаут 5 сек