Иван Колотилкин

JSON.stringify не нужен

$data = ['success' => false; 'message' => 'Тест', 'phone' => $_POST['phone']];
header('Content-Type: application/json');
echo json_encode($data);

$.ajax({
    type: 'post',
    url: '/script.php'. // без http:// и домена
    dataType: 'json',
    data: {id: 5555, phone: 4444},
    success: function(data) {
         if (!data.success) {
               $("#error").html(data.message);	
               console.log(data.phone); // 4444
         } 
    }
});

В обработчик напиши:
Вместо

$json = $_POST['data']; //json need to be data
    $info = json_encode($json);
    $file = fopen('test.json','w+') or die("File not found");
    fwrite($file, $info);
    fclose($file);
  exit;

Вот это

file_put_contents('test.json', json_encode($_POST['data']));
  exit;

Тебе нужно массив преобразовать в json обьект и эту строку записать.