Арсений Азизов

Останавливать всегда. Если условие не выполнилось, то снова запускать по таймауту 1000мс.
Ну и если интервал будет срабатывать только один раз, то можно использовать таймаут

let timerId;
const timer = () => {
    const text = document.querySelector('.Tag-module_content__uLsTI').textContent

    if(text.slice(0, -1)<(-52)){
        // ...payload
        console.log('Сработало условие');
        // Сработало, больше не требуется
    }
    else{
        rel();
        // Не сработало, запускаем снова через секунду
        timerId = setTimeout(timer, 1000);
    }
}

timerId = setTimeout(timer, 150);

В этом api должно быть сказано как осуществляется авторизация, т.е. кука или jwt-token в заголовке, которые нужно вместе с запросом отправлять.

То, что вам нужно называется "пользовательский скрипт". Используйте расширение типа TamperMonkey. Если хотите автоматизировать именно сам сайт - то вам следует использовать сетевую библиотеку для веба в любом знакомом вам ЯП для использования API сайта. У любого открытого API есть документация с примерами - используйте её для написания кода. Если там нет открытого API, то проще всего взять что-то типа Selenium или NWJS. Если не знаете как, то вам на фриланс.