Не открывается файл менеджер при клике по input тип file в WebView. Что можно сделать?

Нет JS в форме отсутствует, в манифесте разрешение есть.
Сейчас частично удалось заставить работать на ведре 2.2 и 4.2, однако на 4.4 проблема сохраняется.
Код в ответе ниже.
Похоже придется писать отдельную форму для добавления события.