AntHTML

Смотря что будет показываться на проекторе и по чему к нему нужно подключаться.
Если это презентации/картинки то можно и wi-fi-lan-mira-chrome-cast, там трафик небольшой и не критичный.
Если видео, то лучше гарантированная среда (провод hdmi/vga/lan/hdmi-over-lan)
Также если на проекторе будет всегда только один комп - то можно городить что угодно.
Если же там на каждую лекцию нужно подбрасывать гостевые ноуты то идеал вход hdmi+vga, т.к. задолбетесь каждому настраивать cast-ы, а так вторкнул и поехало

1. Зачем RPi если для данного функционала достаточно обычной Android флешки, предназначенной именно для работы с видео, да и стоящей дешевле чем RPi и к тому же занимающей меньше места, красивее выглядящей.
2. Без бубна питание отвести не молучится т.к. на проекторе нет выхода с питанием. Если только разобрать проектор, найти на БП линию5В и подпаять к ней USB.
3. А зачем VGA если у вас ажно два HDMI используйте их.