Как правильно сегодня собрать браузерный ES6?

Зависит от задач. Допустим, обрабатываем с помощью webpack`а только js, тогда за src/*.js должен следить webpack, а за остальными gulp. Если что-то делаем с js дальше с помощью gulp`а, то за src/*.js следит webpack, который обрабатывает, а потом складывать в папку build/js, за которой уже следит gulp.
Это все скорее на уровне предположений, я пользуюсь сейчас полностью webpack`ом для всех задач, поэтому, возможно, есть нюансы, которых я не знаю.
Это если запускать как отдельные задачи. Есть также связки gulp-webpack, тут надо смотреть документацию, я ими не пользовался.
Как вариант можно посмотреть как настроено в https://github.com/tars/tars, у них есть возможность подключить webpack для js для отдельного проекта при инициализации и посмотреть как настроены таски для обработки js.