aliekoff

чтобы вызвать уведомление, ты в вышестоящем компоненте добавляешь флажок в state типа:

this.state = {
    isAlertVisible: false
}
// ...
<Alert isVisible={this.state.isAlertVisible} />

соответственно, по какому-то событию ты делаешь этот флажок true. Как вариант, можно в этом же обработчике запилить setTimeout, который будет менять его обратно на false

handleClick = event => {
    // ...
    this.setState({isAlertVisible: true}, () => {
        setTimeout(
            () => {this.setState({isAlertVisible: false})}, 
            3000
        )
    })
}

Не забудь, что setState - асинхронная функция, поэтому таймер я засунул в коллбэк