Алексей Уколов

Зависит от конкретного поведения, которое вам нужно.
Если хотите, чтобы скрипт выполнялся не чаще, чем раз в три минуты, но при этом всегда в один поток, то есть withoutOverlapping.
Если хотите, чтобы скрипт выполнялся ровно каждые три минуты, но при этом не брал уже обрабатываемые записи, то просто добавьте поле со статусом для каждой из них (он может быть как булевым, так и более сложным) и в самом начале помечайте взятые, а выбирайте только невзятые.

> Можно ли поставить крон на 1 минуту
Можно.

> и проверять есть ли задание, для скрипта, в бд
Можно.

> и если есть выполнять его,
Можно

> а это не быстро?
А это не вопрос.

> В основном интересует нагрузка на сервер.
От крона нагрузка будет несущественная. От вашего скрипта - зависит от вашего скрипта.

> И что будет если в одно время, через крон, несколько раз обратиться к одному скрипту
Скрипт будет выполнен несколько раз.

> не получится, что запросы будут конфликтовать друг с другом?
Если вы эту ситуацию обработаете в своём скрипте, то не будут. В кроне никаких встроенных механизмов для этого нет.

Читайте логи. Например, в базе нет пользователей. Или их слишком много и не хватает памяти. Выполните свой скрипт сами через консоль, включив вывод ошибок. Проблема в скрипте, а не в кроне.

https://laravel.com/docs/5.8/scheduling

Очевидно, что минуты скрипту на выполнение не хватает и он обрабатывает одни и те же данные несколько раз. Вам нужно отслеживать, что предыдущий запуск завершился во время старта нового. Если нет - то прерывать выполнение нового запуска и ничего не обрабатывать.

А самым правильным было бы попрофилировать скрипт. Минута - это очень большое время для компьютера и за это время он может очень многое сделать. Скорее всего, у вас неоптимальный алгоритм.

while(file_get_contents("cron.txt")!=0 & $time_shift<59)
...
while($time_shift<57 & time()-$start_time<57)

Скорее всего, дело в том, что вы в условии амперсанд забыли - их должно быть два.

ничего никуда не пишет

Пишет, еще как, просто вы не знаете в какую директорию :)

Абсолютный путь все равно нужен, но его легко получить через __DIR__:

file_put_contents(__DIR__.DIRECTORY_SEPARATOR."t.txt","test\r\n");

Теперь файл будет сохраняться в ту же директорию, где лежит скрипт.