Алексей Уколов

Это метод класса: https://learn.javascript.ru/es-class

Пользователь не знает ни о каких фреймворках, да и не должен знать.

Чтобы не путаться в замыканиях, областях видимости переменных и бесконечных циклах, проще всего сделать так:

setInterval(() => $(".count1").text(parseInt($(".count1").text(), 10) + 1), 1000);

Но этот способ предполагает, что в .count1 изначально будет какое-то число.

Если чуть усложнить код, то это ограничение снимается:

setInterval(() => $(".count1").text((parseInt($(".count1").text(), 10) || 0) + 1), 1000);

или

let counter = 1;
setInterval(() => $(".count1").text(counter++), 1000);

Фактически, shim - это костыль для библиотек, которые не реализуют ни один из стандартов js-модулей (AMD, CommonJS) или поддерживают его как-то не так, как нужно.

А вам действительно нужна поддержка динозавров? С IE8+ можно использовать стандартные средства для решения этой задачи и не тратить время на неработающие велосипеды.

Как можно ускорить этот процесс?

Шаг 1: провести профилирование, найти тормозящий этап. Это может быть получение данных из БД, бэкенд, фронтенд, сеть - что угодно.
Шаг 2: понять, почему конкретно этот этап тормозит.
Шаг 3: внести изменения.
Шаг 4: наслаждаться результатом.

Оптимизация кода методом пристального взгляда (а это единственный доступный посетителям Тостера способ) - дело неэффективное.

Потому что в previousSibling попадают и текстовые ноды (пробелы между тегами, иначе говоря). В этом легко убедиться, выведя в консоль результат выражения

document.querySelector('.push-to-add').previousSibling

А чтобы увидеть все узлы на этом уровне, выполните

console.dir(document.querySelector('.push-to-add').parentElement.childNodes)

Вам в данном случае нужно использовать previousElementSibling или убрать пробел между тегами, чтобы исчез текстовый узел, возникающий между этими элементами:
</section><button class="push-to-add">

Потому что false - это только 0 и NaN. Всё остальное - true (включая Infinity и -Infinity).
Если для вас это важно, то проверяйте на x > 0

Дело в том, что parseInt() - это самостоятельная глобальная функция, а не метод какого-то объекта.

1) Что нужно добавить в input и в обработчик что бы узнать номера всех выбранных чекбоксов?

Что такое "номер чекбокса"?

2) Какова в данном случае роль event="cl" если в скрипте нигде кроме function(event) ни cl ни event больше не задействованы?

В данном коде - никакой. Но используется ли этот атрибут где-то ещё сказать невозможно. Аргумент функции event и атрибут event - это две разных никак не связанных друг с другом вещи.

https://regex101.com/r/frtPT7/1
Справа есть подробное объяснение.

https://learn.javascript.ru/focus-blur
https://learn.javascript.ru/ajax-intro

var paragraph = document.querySelector('p.text-center');
paragraph.removeChild(paragraph.lastChild);

У вас, скорее всего, этот класс далеко не уникальный, поэтому селектор нужно будет подобрать более специфичный.

var obj = this.nextElementSibling;
learn.javascript.ru/traversing-dom

Вопрос как это лучше сделать.

Смотря для чего лучше.
По удобству написания кода - это вы самостоятельно должны решить, удобство у всех разное.
По сложности дальнейшей поддержки - зависит от таблицы и от того, как вы напишете код (при любом варианте можно написать как криво, так и хорошо).
По скорости - зависит от данных и таблицы, сделайте двумя вариантами и измерьте производительность каждого, если она важна.

Цикл можно представить вот таким образом:

var i = 0;
while (i <= 3) {
    alert(i);
    i++
}
alert('i равна = ' + i);

При такой записи поведение становится яснее - когда i становится равной трём, в цикл мы заходим, увеличиваем i до четырёх и больше в цикл уже не попадаем.

В целом, использовать счётчик цикла за его пределами - это очень плохая идея. Ниже Женя Первак показал, как это лучше делать в современном js - там вы просто не сможете обратиться к этой переменной.