Александр

Можно использовать Selenium либо chrome cli либо разобраться как страница формируется через js.

До конца вопрос не понятен..
но чтоб в данной ситуации получить блок tr :

$name =  $short->filterXPath('//*[*[contains(.,"Дата Рождения") and not(count(*))]]')->text();

находит элемент который внутри себя имеет элемент который содержит только текст в котором есть наша фраза и не содержит в себе тегов.

Скорей всего там генеряться куки с помощью js, можно раз обратиться к ресурсу через селениум получить куки, и уже с помощью них дергать нужные страницу курлом. Скажем 1тыс операций сделали заново получили куки и.т.д.

можно пробовать определить получаемую кодировку через mb_detect_encoding а затем с помощью iconv преобразовать в utf8.

$x = 'base64'  //полученная строка
$dir ='./раздел/';
$code = mb_detect_encoding($x, "auto");
$x = iconv($code, "ISO-8859-1", $x);
//возможно просто так поможет:
//$x = iconv("UTF-8", "ISO-8859-1//IGNORE", $x);
$d = base64_decode($x); 
file_put_contents($dir . '1.txt', $d);