Вопрос очень хороший, потому что под словом "дизайнер" все понимают разное. В зависимости от типа задачи/проекта - скажем, от разработки статичного сайта-визитки до разработки сложного интерактивного сервиса (например, соцсети) - роль, задачи и результат работы дизайнера сильно меняются. Я запускал проекты в обоих "краях" этой шкалы, так что попробую описать разницу.
В простейшем случае от дизайнера нужна картинка, пригодная к верстке. Это означает файл в формате .psd с макетом сайта (так, как он будет выглядеть в браузере). Картинка должна быть в растровом (пиксельном) представлении - это, кстати, камень преткновения многих полиграфических дизайнеров (они привыкли мыслить в векторе и "точках на дюйм" - здесь же просто "пиксели"). Также в отличие от полиграфии, важно думать о сайте не как о статичной картинке, а как об интерфейсе взаимодействия с посетителем: что происходит, когда юзер наводит мышку на ссылки, когда кликает и т.п. В последние годы (с развитием retina и прочих 4k) также важно, чтобы растровая картинка была с "запасом" по разрешению (т.е. все отрисовано во в 2-4 раза большем разрешении).
Очень важно, чтобы дизайнер понимал специфику верстки (и/или плотно общался с хорошим верстальщиком), чтобы он предусмотрел, что происходит при изменении размеров окна браузера, как выглядит сайт на очень больших и очень маленьких экранах и т.п. Особенно это важно, если верстка "тянущаяся" (как именно позиционируются элементы и контент страницы при изменении ширины браузера). Чтобы хорошо понимать возможности верстки, рекомендую изучить основы html и css, например вот очень простой начальный курс:
www.codecademy.com/skills/make-a-website - а вот тут чуть более сложные (но тоже начальные) уроки:
https://www.codeschool.com/paths/html-css
Теперь о другой стороне. Если речь идет не о том, чтобы "рисовать сайты", а о том, чтобы создавать и поддерживать интернет-сервис (например, социальную сеть) - то тут дизайнер становится не столько художником, сколько проектировщиком. И проектирует он "пользовательское взаимодействие" (user experience) - то есть процесс того, как юзер общается/работает с проектом, со всеми возможными вариантами, ветвлениями и т.п. Кстати, в больших проектах роли графического дизайнера (который рисует кнопки, иконки и т.п.) и дизайнера-проектировщика часто разделены - но для эффективной работы обоим надо понимать роли друг друга. Вот тут уже особенно важны понятия "responsiveness", предсказуемость поведения, единый стиль интерфейса, который понятен и привычен пользователю.
Когда речь идет о жизни большого проекта, дизайнер чаще улучшает и дополняет то, что есть, чем переделывает с нуля. Поэтому результат работы для такого дизайнера - это макет, который "совместим" с текущим состоянием проекта и не требует существенной переверстки. Часто это по прежнему .psd, иногда это просто прототип (например, в том же axure), на базе которого верстальщик собирает интерфейс из уже готовой и отработанной (для данного проекта) библиотеки элементов.
Ну и независимо то того, над каким проектом работает веб-дизайнер, имеет смысл поискать интересные решения на
https://dribbble.com/, https://www.behance.net/ и подобных сервисах.
