alex01s

Судя по описанию, у вас блокируются запросы к изображениям, где либо нет referer, либо он отличается от вашего домена.

Более точно с имеющейся информацией ответить сложно. Если у вас свой сервер, то смотрите конфиг Апача, если виртуальный хостинг (shared hosting), то изучите настройки в панели управления.

Надежность и 'сторонний сервис' вещи не совместимые, особенно если сюда добавить в требование 'бесплатно'

Только свой собственный сервис может дать требуемый уровень гарантии, ведь его определяешь ты сам.
p.s. зачем тебе сокращатель ссылки, когда на своем сайте можно использовать свой mysite.com/2

размер qr-кода практически не будет отличаться от любого другого сокращателя, пара тройка символов не решит