akelsey

Под linux Evolution + EWS plugin, под Windows как вам уже посоветовали Thunderbird + так же ищите аддон для EWS. (EWS конечно должен быть опубликован, проверить: https://outlook.office365.com/EWS/Exchange.asmx - вместо outlook.office365.com подставить свой онпрем URL, если эксч онпремный. )
PS
Либо IMAP+SMTP в любом клиенте, хоть в аутлюк 2010... (но только почта, без контактов и календарей)

На вскидку предположу что 443 порт опубликован без указания входящего интерфейса. Проверьте там - возможно он дстнатит сам на себя.

Боюсь такого функционала нет даже в Outlook Web App Office 365

При нажатии Sign Out в OWA как раз происходит завершение всех сессий, нейтрализация всех куков.
При прямом подключении браузера к Exchange OWA - всё работает корректно (странно было бы ожидать другого поведения от Microsoft).
В вашем случае - похоже кто-то кэширует информацию между браузером и почтовиком, подозреваю корпоративный прокси сервер с агрессивным кэшированием, например Squid.
В таком случае - нужно скрипте автоконфигурации прописать корректно локальные ресурсы, или через GPO их разлить пользователям, в крайнем случае добавить руками исключения в IE (на время теста - лучше прокси вообще отключить).

Судя по всем IIS не запущен или находится в деградирующем состоянии.
iisreset - попробуйте.
Но так то понять на расстоянии довольно трудно, сам вопрос вводит в ступор из за пропущенной видимо частицы "не".
Попробуйте телнетом пощупать 80,443 порты, изнутри сначала сети.

Задача сформулирована непонятно, пока ясно одно, зря вы начали в AD S&S прописывать SMTP транспорт для репликации, еще и проблему с репликацией AD получите в итоге, несмотря на знакомую аббревиатуру SMTP к работе OWA эта запись имеет отношение - ноль. Вот тут полезная статья как работает CAS redirection в мультисайтовой среде goo.gl/z1MOsI Нужно почитать и разбораться. А AD репликацию лучше не трогать =)

PS
Конкретно в вашей ситуации получается что при обращении к ящику через OWA находящемся в другом сайте - CAS сервер видит что на удаленном сервере прописан External URL - https://smtp.domain.local, и он main server с https://main.domain.local/ редиректит на https://smtp.domain.local/.

Штатно такой функционал вряд ли предусмотрен. Только если самому написать какой то костыль.