akelsey

Направление верное, только не хостинг (shared hosting тут не подойдет), а VPS + domain name.
Самый "относительно простой" способ это создать два докер контейнера с бэком (чистое приложение на чем оно у вас написано) и фронтом (например ngninx или опять же смотря на чем написано), и взять готовые контейнеры mongodb + nginx (для публикации фронта + ssl) с docker hub.
Потом создать компоуз (docker-compose.yaml) файл и все четыре контейнера запустить в одной сети. Настроить взаимные подключения. Подключить сертификат.

После того как это всё руками заработает и будете понимать что и как настраивается, можно будет строить пайплайны для автоматической публикации из github/gitlab, но это уже совсем другая история.

PS
Дев среду можно построить и на домашних ресурсах, как отладите и освоитесь - сможете реализовать и на VPS.

Пробуйте проксировать на правильный ресурс:

location / {
    proxy_pass http://site:3000;
  }

site != test

или сразу website:3000

Без публикации содержимого docker-compose.yml, вам вряд ли кто-то сможет помочь.
PS
Следующая фраза тоже требует пояснений:

И как объяснить docker-compose чтобы он положил контейнер/образ в конкретную папку?

Все предложенные варианты имеют право на жизнь.
Но я за контейнеризацию, т.к. плюсы размещения в контейнере очевидны, вся конфигурация приложения при следовании лучшим практикам находится в одном месте, например:
/opt/docker-compose/
в котором есть список ваших приложений, например:
nginx-reverse/
certbot/
nodejs-front/
nodejs-back/
something-else/

Такая компоновка обеспечит более легкий деплоймент в пайплайне (ci/cd), да и ручной перенос с хостинга на хостинг. Локальное тестирование тоже проще осуществить.

Для этого используются Gitlab-runner, разворачивается на сервере, создается нужный пайплайн, который при коммите в GIT будет делать всё сам.
Гуглить в сторону .gitlab-ci.yml gitlab-runner ci/cd pipelines