Стейт менеджер нужен для консистентного управления состоянием приложения, внезапно.
Если вы не пользуетесь менеджером состояния в реакт-приложении, то либо используете контекст (вот хорошее объяснение, почему на проде так делать не нужно), либо пишете заведомо неподдерживаемое приложение. Ну или ваше приложение — это игра в крестики-нолики с двумя полями в стейте корневого компонента.

Большие приложения нельзя писать без стейт-менеджера — это выльется в огромную неподдерживаемую кучу спагетти.

Давай по порядку

const result = [].indexOf.call(this.children, event.target)

[]
Пустой массив

[].indexOf
Метод массива. Он же функция. Если вызвать его как есть ([].indexOf(42)), то он будет искать в пустом массиве, следовательно ничего не найдёт. Он работает на this, то есть в теле этого метода this указывает на массив [], по this и происходят итерации для поиска. В случае [1,2,3].indexOf он внутри будет итерироваться по this, которое указывает на [1,2,3]

[].indexOf.call
Метод любой функции. Позволяет вызвать этот метод с явным указанием, чем будет являться this. В приведённом примере это this.children. Все остальные аргументы будут переданы в indexOf.

Трюк в том, что метод indexOf есть только у массивов, но искать индекс этот метод может не только в массиве, но вообще в любой структуре, у которой есть поле length и остальные поля, доступные через численный ключ.

Приведённая запись – способ вызвать метод массива на псевдомассиве.