Смотри. Если вопрос состоит в том, что бы не юзать ФУНКЦИЮ ajax() из jquery то стоит воспользоваться стандартным js объектом XMLHttpRequest. Делается примерно так:
var xhr = new XMLHttpRequest();
xhr.open("POST", url);//где url-адрес куда обращаешься
xhr.send(form);//где form-сереализованная форма, или ещё чего тебе там надо послать
xhr.onload = function() {//тут обрабатываем ответ если требуется. В объекте xhr будут все нужные тебе штуки
};
НО: Строго говоря AJAX-примерно любая отправка чего то через js без использования сокетов или sse. Это название принципа клиент-серверного взаимодействия, который реализует функция ajax() из jquery.