Привет, Матвей! Очередной раз отвечаю на свой же вопрос сам. Такая жизнь, такая жизнь.

Ладно, в общем суть тут следующая: В компоненте можно выкинуть вообще vue-socket.io, как и vue3-socket.io.
Соединение можно открыть локально при помощи "чистой" либы. Иногда сверкает ее упоминание в документации vue-socket.io, но почему-то она не устанавливается самостоятельно с vue-socket.io.
Поэтому проверните на всякий:
npm install socket.io-client
Теперь отдельно импортируем уже в КОМПОНЕНТЕ
import SocketIO from 'socket.io-client'
Ну и теперь для соединения танцуем так:

this.sessionSocket = SocketIO('',{
          path: '/bot/socket.io/'
        })

Я использую пустой адрес и изменяю patch, т.к. проксирую это все дело через vite с целью избежать проблемы с CORS при тестировании.

Ну и как это дело использовать:
Отправить сообщение:
this.sessionSocket.io.emit('test')
А подписаться на событие:

this.sessionSocket.on('test',()=>{
          console.log('Hello World)
        })

Полная документация по этим танцам: https://socket.io/docs/v4/client-api/