Пример типичной задачи по JS для junior/middle front-end'a. Какая она?

Типичных не бывает. Если в двух словах, то визуализация бекенда. А вот здесь уже важен ваш уровень. Сделать это можно очень по-разному.

Как правильно построить архитектуру мини-приложения?

Код у вас не рабочий.
Так работать не будет setInterval(timer(), 1000);  Напишите хоть так setInterval(timer, 1000);

Учитывая функционал, то особо заморачиваться архитектурой тут не нужно) Разве что событие click вешать через bind, затем снимать при помощи unbind
Интервал нужно будет очистить в нужный момент. Ну и результат таких выборок $(".timeout") нужно присваивать переменным, чтобы на каждой итерации у вас не происходил поиск по дереву DOM

По идее, утечек тут не будет :)