4X_Pro

Второе ядро даст незначительный прирост в плане параллельного выполнения потоков ядра операционой системы и других процессов (коих даже на «голом» Linuxе висит несколько десятков), от третьего и последующих в описанных условиях толку никакого не будет.
В остальном же всё зависит от нагрузки. Если она небольшая (1-2 обращений в секунду и нет сложных вычислений типа нейронных сетей), то одного ядра хватит спокойно. Например, у меня два бота висят на одноядерном VDS, и на нём же крутится MySQL с базой для одного из них, и всё вполне нормально работает, причём один из ботов постоянно устанавливает исходящие запросы (выполняет мониторинг сайтов). Правда, боты написаны на PHP+Go, а не Python. Но к этим ботам всего всего несколько тысяч обращений в сутки.

Нужно два цикла. Первый увеличивает значение x от Xнaч до Xкон и вызывает функцию расчёта значения для точки x. Второй (его нужно поместить внутрь функции) — считает очередной член ряда и прибавляет его к общей сумме до тех пор, пока этот самый член не станет меньше ε (начальное значение суммы равно нулю). После этого возвращает сумму как результат функции.

Поскольку метод не объявлен как статический, то нужно создать конкретный экземпляр класса и вызывать уже для него. То есть

newb = Newbie(login,password)
newb.logging(login,password)

Ну или ещё вариант — Newbie.logging(newb,login,password)
Кстати, если логин и пароль запомнили в self, то зачем передавать их в logging в параметрах ещё раз? Лучше используйте self.login и self.password.

Нужно формировать путь одинаково. А то в первом случае он у вас пишется относительно текущего каталога:
"./downloads/{}.exe".format(package)
а во втором — относительно пути, где лежит скрипт:
os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))+"\\downloads\\{}.exe".format(package)
Если текущий каталог — это каталог со скриптом, то всё работает нормально, если же нет, то файл найти не удаётся. Причём я бы использовал второй вариант (с абсолютным путём).

Функция os.getcwd() вам в помощь. Естественно, получить такой путь можно только до первого вызова os.chdir (если они у вас есть). Еще вариант — просто прописывать пути к файлам относительно текущего каталога в виде './file.txt'.

scope нужно прописывать на этапе получения token, а не при отправке сообщения. А сам GET-запрос уходит нормально.