Natan

Корректно ли редиректить только некоторы страницы на другой сайт?

Да, это вполне допустимо.

Но позиции в выдаче, для переносимых страниц, вы можете потерять. Насколько быстро получится их вернуть зависит от множества факторов, ключевую роль здесь играет оптимизация контента на целевых страницах (вы же его планируете изменить), репутация и качество вашего нового сайта, в глазах поисковиков.

mydarck это решается очень просто. На сайт добавьте атрибут rel="canonical". Чтобы на странице https://site.ru и на странице http://site.ru в коде была указана одна каноническая ссылка с верным протоколом.
<link rel="canonical" href="http://site.ru"/>
После переидексации проблема будет решена.

UPD:
Сайт нормально открывается по http?
Попробуйте поискать первопричину, почему поисковики проиндексировали страницу по https. Может где-то на сайте или в sitemap.xml ссылки не верно адресованы, в файле robots.txt параметр host не верно задан, посмотрите с каким протоколом добавлен сайт в инструменты вебмастеров, может на сайте настроен какой-то корявый редирект. Не исключены ошибки со стороны тех, кто занимался сайтом до Вас или умышленное вредительство.

@tenaro В этом случае Вам не robots.txt нужен, а прописать для каждой страницы каноническую ссылку:
<link rel="canonical" href="http://site.ru/cat"/>

@nublog фазы луны на SEO тоже влияют, надо новые посты писать только на растущую луну! :)

С точки зрения SEO, насколько корректно использование главной страницы по умолчанию, установленное через htaccess:
DirectoryIndex /folder/page.html

Не влияет ни на что, любую страницу можете главной назначить, по умолчанию. Главное чтобы эта страница была доступной и грузилась без проблем.