Не выводятся ID с БД, как фиксить?

if a != people:
что в переменной people? Скорее всего здесь у тебя все время a != people, от этого и не отправляются id.
и про for id in id: уже выше написали...

Как реализовать вход в систему на VUE.JS?

При желании вам и страницу авторизации заддосят и неважно где апи, сайт уже не работает