Давайте определимся:
У вас не прописан link до библиотеки fontawesome. Его надо прописать. Если локально, то укажите путь. Если не совсем понятно как, то возьмите с CDN - просто добавьте такую строку в блок head.
<head>
<meta charset="UTF-8">
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="ie=edge">
<link rel="stylesheet" href="https://use.fontawesome.com/releases/v5.6.3/css/all.css">
</head>
Дальше:
У вас в коде вообще никак не указано, что надо использовать иконку из fontawesome. Измените строку, как показано ниже:
<li><a href="#"><i class="fab fa-vk"></i> В контакте</a></li>
Должно получиться вот так на выходе:
