VoidVolker

Redmine

Самый простой вариант - трелло и его аналоги. В современных реалиях, конечно, лучше быть независимым от иностранных сервисов и размещать на своём сервере. И есть полноценный таск-менеджер - redmine. Опенсорс, гибкий, куча настроек, плагинов и прочее. Так его что можно легко настроить под любые задачи.

Гугл-таблица, таблица onlyoffice.doc - в принципе, оно, но слишком перегружено именно "exel-евскими" функциями

Так-то гугл таблицы и аналоги - это же и есть такие же табличные редакторы как эксель и к управлению проектами отношения не имеет.

Более-менее точный результат - только через тайм-трекинг. Начал работать на задачей - кликнул "старт". Остановился на перерыв - "стоп". Закончил - перевёл статус задачи в "завершено". По мере работы/необходимости добавляются комментарии с деталями. Соответственно в таск-менеджере в отдельной колоночке показываются затраты времени на задачу.

Организация рабочих процессов IT отдела - это обязанность руководителя данного отдела. StanislavOtan у вас какая должность? Что в должностных обязанностях написано? Если вы не руководитель данного отдела - то в вашу область ответственности организация рабочих процессов не входит. Даже если руководителя нет - просто переадресуйте этот вопрос наверх. Если вы руководитель, то вам надо просто найти и нанять опытного человека для организации рабочих процессов в отделе. Без опыта сделать это можно только набивая свои шишки: в сети много курсов, статей и прочего.