Vitsliputsli

Включите server-status

Все переменные, которые переданы по ссылке, всегда нужно удалять. Верно?

Нет

Проводить собеседование нужно уметь, это не такая простая вещь как кажется. Вас скорее всего собеседовал чисто технарь, в таких случаях, часто собеседование скатывается в экзамен по его любимым игрушкам. Если у вас отличный взгляд, то шансов нет, все альтернативы и предложения будут проигнорированы, и он будет продолжать грузить тем, на что молится. Собеседований на таких "собеседованиях" не бывает, вас не будут слушать и не будут что-либо рассказывать, их время слишком дорого, а вы лишь соискатель, который претендует играть в их песочнице.
Идеальный вариант, это технарь-менеджер, человек, который понимает техническую часть, но в тоже время умеет общаться с людьми (это не просто, технарь из 1 абзаца тоже думает что умеет). Благодаря этому навыку, он не будет считать себя богом и вполне сможет посмотреть на вопрос со стороны, или даже допустить, что бывают разные решения.
Другой вариант, это чисто менеджер. Но это больше, когда претендуете на руководящую или частично руководящую должность. Тут разброс очень широкий, самый печальный вариант, когда менеджер считает себя технарем, тогда сверху еще наслаиваются проблемы из 1 абзаца. В основном же, это вполне нормальные интервью, но может быть много вопросов "за жизнь". Бывают и своеобразные, так есть методика "агрессивного собеседования" - собеседующий опаздывает на 10-15 минут (это должно заставить кандидата нервничать), затем без каких-либо разговоров засыпает вопросами, всячески показывая, что это кандидат заинтересован, а не они. Иногда это может и работает, но когда такое применяют в IT, у кандидата формируется ощущение, что он разговаривал с некомпетентным быдлом. Хотя все это лишь то, что видел я.
Мне кажется, если человек действительно нужен, то его возьмут. Но не все компании проводящие собеседования действительно набирают людей.

Оформите повторяющийся код отдельной функцией

Собственно, как и написано: "modules/db.php" не может найти "../modules/log_in.php" и "../modules/send_sms.php". Проверьте наличие этих файлов.
На хостинге ошибки скорее всего пишутся в лог, а не выводятся на экран.

Математические операции с числами, лучше осуществлять математическими операторами, а не sprintf:
echo floor(0.68752475247525*1000)/10

Для таких целей лучше использовать шаблонизаторы, например Twig.

попробуйте поискать в выводе var_dump(file_get_contents("php://input"))

Код php работает, он странный, он будет терять данные, если придет несколько одновременных запросов, но более-менее работает.
На стороне клиента отправляйте через ajax (наверное jquery используете?), тогда все что нужно будет:

<button onclick="$.get('/counter.php',{add:1})">button</button>

Вероятно эти незаполненные поля обязательны в API Телеграма. Если это допустимо в API передавайте их в ваш код пустыми. Или измените код на этот:

if ($_SERVER["REQUEST_METHOD"] == "POST") {
	$args = filter_input_array(INPUT_POST, FILTER_SANITIZE_STRING);
	if (!empty($args['name'])){
		$arr = [
			"Имя пославшего: "=>$args['name'],
			"Тема: "=>!empty($args['theme']) ? $args['theme'] : '',
			"Тема - 2: "=>!empty($args['theme2']) ? $args['theme2'] : '',
			"Почта: "=>!empty($args['mail']) ? $args['mail'] : '',
			"Скайп или вайбер: "=>!empty($args['sk_viber']) ? $args['sk_viber'] : '',
			"Название проекта: "=>!empty($args['name_project']) ? $args['name_project'] : '',
			"Ссылка на сайт: "=>!empty($args['link__site']) ? $args['link__site'] : '',
			"Характеристика товара: "=>!empty($args['kharakter_tovar']) ? $args['kharakter_tovar'] : '',
			"Кол-во комментариев: "=>!empty($args['kolvo_komponent']) ? $args['kolvo_komponent'] : '',
			"География доноров: "=>!empty($args['geography_donor']) ? $args['geography_donor'] : '',
			"Аудитория: "=>!empty($args['auditoriya']) ? $args['auditoriya'] : '',
			"Сообщение: "=>!empty($args['msg']) ? $args['msg'] : '',
		];
		$token = "XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX";
		$chat_id = "xxxxxxx";
		$txt="";
		foreach($arr as $key => $value) {
		  $txt .= "<b>".$key."</b> ".$value."%0A";
		};
		$sendToTelegram = fopen("https://api.telegram.org/bot{$token}/sendMessage?chat_id={$chat_id}&parse_mode=html&text={$txt}","r");
		if ($sendToTelegram) {
			echo '<p class="success">Спасибо за отправку вашего сообщения!</p>';
			return true;
		} else {
			echo '<p class="fail"><b>Ошибка. Сообщение не отправлено!</b></p>';
		}
	} else {
		echo '<p class="fail">Ошибка. Вы заполнили не все обязательные поля!</p>';
	}
} else {
	header ("Location: /");
}

PHP тут совсем не при чем, вы же сами пишите, что нужно чтобы отработал javascript на странице, используйте решения исполняющие javascript: Selenium, PhantomJS или что-то вроде этого.
Либо, возьмите запрос, который делает ajax, отправляйте его из PHP и обрабатывайте ответ.

Как минимум, вы ничего не делаете с данными пришедшими через Ajax.
success: function(data) {
console.log(data);
}})
Это выведет полученные данные в отладочные консоль браузера и только. Кстати, воспользуйтесь ей и увидите ответ сервера