Vindicar

В коде каша. С одной стороны, вроде знаешь про плейсхолдеры, но не синтаксис SQL:

cursor.execute('INSERT OR IGNORE bazaa (user_id, user_name, username) VALUES (?, ?, ?)', (user_id, user_name, username))

А в другом месте кода с точностью до наоборот.

INSERT INTO USERS (user_id, username, first_name,  last_name) VALUES ({user}, "{username}", "{first_name}", "{last_name}", "{ctime()}");

Почитай про синтаксис INSERT и ON CONFLICT и никогда не формируй запросы форматированием строк.

Отступы косые, будь внимательнее.
У тебя check() объявлена как локальная функция внутри __init__(), соответственно в самом классе такого метода нет. А так как метод объявлен абстрактным в BoundFilter и не переопределён в твоём классе, то и твой класс остаётся абстрактным. А потому попытка создать его экземпляр проваливается.

if callback.data in ('test1', 'test2', 'test3'):
    for ret in cur.execute("SELECT id, title, score FROM names WHERE name = ?", (callback.data, )):
        await bot.send_video(callback.from_user.id, ret[0], caption=f'Текст под постом1: {ret[1]}\n Текст под постом2: {ret[-1]}\n\n Текст под постом3 \n\nТекст под постом4, reply_markup=underpost_butt)

Очевидно, внести код генерации случайного текста внутрь обработчика.
Снаружи можно оставить только неизменные части - например, всё что до работы с random.choice().
К слову, а накой огурец ты подключаешь сюда numpy? Чем тебя встроенный random не устроил?

Что мешает засунуть with внутрь ChangeNick()?

У тебя бот многопоточный? Потому что иначе единственный главный поток будет занят циклом, и боту будет не до общения с сервером телеги.

Быстрый гуглинг показывает, что content_types для появления юзера может быть new_chat_members, а не new_chat_member. Проверь, работает ли.

Вставь сообщение об ошибке в Google Translate и поймешь.
Спамить надо меньше. Ну или хотя бы делать задержку между сообщениями.

Конструкторов ботов полно, в т..ч. бесплатных. Хочешь монетизировать знания - погуляй по фриланс-сайтам.

В указанном виде - никак, бот, насколько я могу судить, однопоточный, и этот один поток будет занят циклом while True.

по видеоуроку ХаудиХо

Ну собственно проблема уже в этом. Эти видяшки почти ничего не объясняют, а просто "делай как я". Нужно как следует учить язык, боты - не самая тривиальная вещь.

А вообще galaxy выше прав. Вы указываете базу данных вот так: sqlite3.connect("Database.db")
Если не помните, это то, что называется "относительный путь", который отсчитывается относительно текущего рабочего каталога. Проблема в том, что текущий рабочий каталог при запуске скрипта может быть разным - это совершенно необязательно каталог, где лежит скрипт (хотя часто может им быть). Факторов, влияющих на текущий рабочий каталог, очень много, и лучше на него не полагаться.
Надежнее узнать полный путь до каталога скрипта, и использовать его для построения пути до рабочих файлов скрипта. Например, так:

import sys
import pathlib
script_path = pathlib.Path(sys.argv[0]).parent  # абсолютный путь до каталога, где лежит скрипт
conn = sqlite3.connect(script_path / "Database.db")  # формируем абсолютный путь до файла базы

Вот после этого можно быть уверенным, к какой базе обращается бот.

Выше уже ответили, что нужно регистрировать пользователей самостоятельно. Я опишу один из способов, как это сделать.
Я предполагаю, что используется СУБД Sqlite, хотя это можно адаптировать и к другим.
Нам потребуется таблица пользователей примерно такого вида:

import time
import sqlite

connection = sqlite3.connect('bot.db')
cursor = connection.cursor()
cursor.execute("""CREATE TABLE IF NOT EXISTS users ( -- всё что после -- комментарий SQL
    id TEXT PRIMARY KEY, -- идентификатор пользователя, он же первичный ключ таблицы
    first_use REAL, -- метка времени, когда пользователь впервые обратился к боту
    last_use REAL -- метка времени, когда пользователь последний раз обратился к боту
)""")
cursor.close()

То, что мы сделали id первичным ключом, гарантирует, что одному пользователю будет соответствовать только одна строка таблицы.
Тогда перед выполнением каждой команды нужно обновить эту таблицу - добавить строку, если её нет, или обновить поле last_use, если она есть. К счастью, существует синтаксис, позволяющий сделать это за один запрос.

def ensure_user_stats(user_id):
    "Эта функция обновляет таблицу users, и должна вызываться в начале обработки каждой команды."
    global connection
    cursor = connection.cursor()
    now = time.time()
    # пытаемся добавить строку с указанным id, и фиксируем текущее время в полях first_use и last_use 
    # если возникает конфликт в поле id (такое id уже есть),
    # то мы обновляем в этой записи поле last_use на текущее время, а остальное не трогаем
    cursor.execute("""INSERT INTO users (id, first_use, last_use) VALUES (?, ?, ?)
    ON CONFLICT (id) DO UPDATE SET last_use = excluded.last_use""", (user_id, now, now))
    cursor.close()