Тебе нужна реализация state machine (автомат состояний).
Упрощённо, для каждого пользователя, событие от которого мы обрабатываем, нужно хранить, в каком состоянии он находится (например, в твоём случае "начальное" или "была послана команда /send_id"). Тогда при обработке событий проверяешь, находится ли пользователь в нужном состоянии.
Хранить состояния можно по разному. В простейшем случае, если состояния не обязаны переживать перезапуск бота и не имею дополнительных данных, может хватить словаря вида "ID пользователя - код состояния".