Vamp

Вам нужно вынести парсинг в отдельную горутину, так как диалоговое окно закрывается только после завершения выполнения callback функции. А так как вы весь парсинг выполняете в ней, то диалог, соответственно, ждёт.

testStart := widget.NewButtonWithIcon(" Test ", theme.InfoIcon(), func() {
	dialog.ShowConfirm(
		"Начать парсинг?",
		fmt.Sprintf("Ссылки для парсинга получены"),
		func(yes bool) {
			if yes {
				progress.Show() // Порказываем и запускаем прогрессбар
				progress.Start()
				fmt.Println("Start")
				go doTheJob()
			} else {
				return
			}
		},
		myWindow,
	)
})

func doTheJob() {
	qty, file_name := parsing(urls) // функция  - парсинг товаров по ссылкам
	//time.Sleep(5 * time.Second)
	// Обновление виджетов разрешено делать только из главной горутины,
	// поэтому нужно шедулить обновление виджетов через fyne.Do
	fyne.Do(func() {
		progress.Stop()
		dialog.NewInformation("Данные получены", "Все работает!", myWindow).Show()
	})
}