VIGF

handleMail(postData) {
  return axios({
    method: 'post',
    url: '/auth/signin',
    data: postData,
  });
}

const handleSubmit = async e => {
  // some code
  try {
    const { data } = await auth.handleMail(postData);
    console.log('success', data);
  } catch (e) {
    console.log('error', e);
  }
};

просто куки для логина, ну а для реги тут хранилище не нужно, вы же на бек всё отдавать будете

На примере использования токенов.

Авторизация:
1. Отправляем пару логин/пароль, в случае успеха получаем в ответе токен и данные пользователя.
2. Пишем данные пользователя в состояние главного компонента, из него прокидываем в контекст.
3. Токен пишем в cookie и в заголовки по-умолчанию библиотеки для http запросов.
4. Колбеки авторизации и логаута можно так-же прокинуть в форму логина и кнопку логаута через контекст.

Инициализация приложения:
1. Проверяем cookie на наличие токена.
2. Если он есть запрашиваем пользователя и пишем в главный компонент.
3. Пишем токен в заголовки по-умолчанию библиотеки для http запросов.

Логаут:
1. Удаляем токен из cookie и заголовков по-умолчанию библиотеки для http запросов.
2. Удаляем данные пользователя из состояния главного компонента.
3. Делаем редирект с защищенной страницы.

Куки или localstorage
Хранить в виде токена, например, а не просто залогинен или нет.
И проверяться что это за пользователь скрывается за этим токеном - должен сервер обязательно. А не браузер.