Us59

Либо так как сказал Анатолий
Либо сделайте супер-класс DBObject

class DBObject
{
    protected $db = null;

    public function __construct() 
    {
        //Тут код для инициализации соединения с БД
        $this->db = $connection;
    }
}

И все остальные классы наследуйте от него

class Script extends DBObject {

     function GetNewOrders() {
          $query = $this->db->query(...);
          //Ну и так далее
     }

}

Curl испозуйте, если чисто php, через ajax можете наткнуться на CSRF защиту

Curl_php. И будет вам счастье.
Можно guzzle

А смысл подставлять это к url сайта, если это не get запрос? Нужно смотреть что внутри этого запроса, и по аналогии слать ваш запрос. Судя по __VIEWSTATE - это всё на ASP.NET WebForms сделано, со всеми вытекающими отсюда нюансами.