Нашел несколько ошибок в своем коде. Возможно их описание кому-либо поможет.
Ошибка #1 в JavaScript коде, в обработчике xmlhttp.onreadystatechange:
xmlhttp.onreadystatechange = function() {
if (xmlhttp.readyState == 4) {
document.getElementById('smallposts').innerHTML += xmlhttp.responseText;
}
}
Ошибка #2 в PHP коде. В переменной $answer хранится строка, а значит присоединять к ней нужно знаком ".=", а не"+=":
$answer .= '<div class="smallpost"><a href="' . get_the_permalink() . '" class="header_smallpost">' . get_the_title() . '</a>
<span class="date">' . get_the_time(__('j F H:i')) . '</span></div>';
Ошибка #3, так-же находится в PHP коде. Для возвращение ссылки на пост, заголовка и времени требуется приставка "get_":
get_the_permalink() 