Terminaft

API некорректные заголовки отдает - "text/html", а нужно "text/javascript".
Использовать $http.get и $http.post не получится, потому что API не отдает заголовки "Access-Control-Allow-Origin".
Поэтому напишите запрос к API на php (или что Вы там используете) с отдачей результата сразу на вывод, и через $http дергайте его.

1. Не используйте функции mysql_*
2. Судя по коду, в запросе к БД можно выбрать только поля Header_News и Data, а не все сразу
3. Внутри while в первой части кода

$message[] = array('header' => $row['Header_News'], 'data' => $row['Data']); // $id тут не нужен я полагаю

4. Внутри success во второй части кода

$.each(data, function(i, e) {
  $('#TableNews').append('<div class="News"><div class="Times">' + e.data + '</div><div class="HeaderNews">' + e.header + '</div></div>');
});

А почему бы не использовать АПИ?
https://vk.com/dev

Конкретно то, что Вам нужно:
Описание метода
Запрос и ответ