Почему может пропадать доступ в сеть до команды ping со стороны провайдера?

Не похоже. Сказали что можно купить любой роутер и порекомендовали модель от Asus которую желательно купить самому в любом магазине.

Почему может пропадать доступ в сеть до команды ping со стороны провайдера?

В настройках arp=enabled