Как убрать поле ввода сообщения в боте телеграмма и оставить только одну кнопку?

Никак! Или пхай кнопку в сам трей сообщений (inline keyboard), если тебе это подходит!

Почему не работает InlineKeyboard?

@bot.callback_query_handler(func=lambda call:True)
def inline(call):
    if call.data == 'city1':
        bot.send_message(call.message.chat.id, 'Choose again', reply_markup=keyboard_p1)

    if call.data == 'city2':
        bot.send_message(call.message.chat.id, 'Choose again', reply_markup=keyboard_p2

    if call.data == 'prod1':
        bot.send_message(call.message.chat.id, 'Please, choose', reply_markup=keyboard_d1)

    if call.data == 'prod2':
        bot.send_message(call.message.chat.id, 'Please, choose', reply_markup=keyboard_d2)

Как бота подключить через прокси на python к телеграм?

Или так (сокращенный вариант):
---------------------------------------
import telebot
from telebot import apihelper

apihelper.proxy = {'https':'socks5://login:password@ip:port'}
bot = telebot.TeleBot('token')

... ... ...
---------------------------------------

Как сделать, чтобы на VDS Телеграм бот работал постоянно?

Мерси, посмотрю!

Как прилепить прокси к telegram боту?

На pytelegrambotapi так:
=====================
import telebot
from telebot import apihelper

TOKEN = '0000000:xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx'
PROXY = 'логинпрокси:парольпрокси@ip:port'

apihelper.proxy = {'https':'socks5://' + PROXY}
bot = telebot.TeleBot(TOKEN)

======================

в редких случаях вместо 'socks5://' надо 'socks5h://'