Stockholm Syndrome

передайте в метод параметр photo_sizes=1, тогда вернётся массив sizes с фотографиями разных размеров, соответственно, последний элемент массива — самая большая фотография

вот это API можете использовать
https://openweathermap.org/api

3 запроса в секунду - 3*12500 = 37500 групп в секунду

даже больше
у сообщества 20 запросов в секунду, соответственно 20*12500 = 25000 групп в секунду

но вы должны понимать, что, пихая всё в execute, запросы становятся очень тяжёлыми, ведь надо передавать код по сети (можно не передавать, используя хранимые процедуры), да и сервер не сразу возвратит результат, поэтому такие запросы будут тупо падать по таймауту

$gg = json_decode(file_get_contents('https://api.vk.com/method/messages.getInviteLink?'. $ri));
$tko = $gg->response->link;

когда пользователь жмёт на побочную клавиатуру, отправляйте не пустое сообщение, а какое-нибудь "отличный выбор" и возвращайте старую клавиатуру

получить токен от приложения, у которого есть доступ к Messages API
например, здесь

return [
  API.groups.editManager({/* параметры */}),
  API.groups.ban({/* параметры */}),
  API.photos.delete({/* параметры */})
];

отправить запрос методом photos.getById, передав параметр photos в формате:
<owner_id>_<id>

если у вас своё приложение, то можно использовать хранимые процедуры
https://vk.com/editapp?id={your_app_id}&section=fu...
тогда можно создать процедуру execute.getCount, у которой будет параметр request

P.S. внутри execute'а при вызове методов не нужно передавать версию

let users = await vk.api.messages.getConversationMembers({peer_id: context.peerId}); 
let user = users.items.find((item) => item.member_id === context.senderId);
if (user.is_admin) {
  // админ
} else {
  // не админ
}

при вызове методов секции messages будет ошибка, потому что ограничили Messages API
через тот сервис работает, потому что токен там получают через приложения, имеющие доступ к Messages API

Можно ли каким-либо способом обойти эту проблему с ограничением доступа к некоторым методам ВКонтакте и сразу же получать полностью валидный токен пользователя, который будет нажимать лишь одну кнопку Авторизоваться?

можно, если просить у поддержки