Не совсем уверен получится ли идеально подогнать под ваш сценарий, но как минимум, попробуйте FairEmail:
https://email.faircode.eu/
Это open-source клиент, судя по отзывам, весьма толковый. При этом не "облачный", как большинство современных почтовых клиентов, которые
тянут всю вашу почту к себе на сервер для "удобства её представления".
У него в "Pro features" есть "Notification settings (sounds) per account/folder/sender (requires Android 8 Oreo)", т.е.
"настройка звуков уведомления для аккаунта / папки / отправителя (требуется Андроид 8, либо новее)".
Полагаю, что фильтрами в почте вы сможете раскидывать входящие письма по папкам, а затем настроите нужный звук, либо настроите оповещение по отправителю. Как минимум, у писем об упавшем сервере вряд ли будет много вариантов поля "From".
