Попробую написать аналитический ответ.
N=1 — плоскостей нет
N=2 — все плоскости совпадают, то есть имеют бесконечное количество точек пересечения.
N=3 — плоскости либо параллельны, либо пересекаются по прямой.
Докажем это.
Возьмем две пересекающиеся плоскости в трёхмерном пространстве. Их уравнения можно записать так:
A1*x+B1*y+C1*z = D1.
A2*x+B2*y+C2*z = D2.
При повороте количество точек пересечения не изменится, поэтому мы можем повернуть плоскости так, чтобы A1 было ненулевым. Тогда:
x = (D1-B1*y-C1*z )/A1,
A2*(D1-B1*y-C1*z )/A1+B2*y+C2*z = D2.
Пусть плоскости пересекаются в точке (x0,y0,z0), то есть, эта точка является решением двух вышестоящих уравнений. Подставим в уравнения y0+1, и решим систему (не буду продолжать выкладки, думаю, это довольно очевидно). Получим вторую точку пересечения. Единственное предположение, которое мы делали, что две наши плоскости пересекаются хотя бы в одной точке. Таких точек, если они есть, всегда больше одной, то есть N=3 не является решением задачи.
N=4
В четырехмерном пространстве плоскость задается системой двух линейных уравнений от четырех переменных: x, y, z и t.
Приведем пример, когда две плоскости пересекаются в одной и ровно в одной точке. Первая плоскость образована осями абсцисс и ординат:
z=0,
t=0.
Вторая плоскость образована осью аппликат и осью, традиционно называемой осью времени:
x=0,
y=0.
В четырехмерном пространстве только одна точка находится на обеих этих плоскостях (удовлетворяет обеим системам уравнений). Это начало координат (0,0,0,0), то есть ответ —
4.
Очевидно, что при N>4 можно взять четырехмерную гиперплоскость, и в ней приведенный пример будет работать.