1) будет дорого. Очень. И самой дорогой частью будет аккумулятор -- нужна емкость порядка 600-800 Втч (запас на деградацию, саморазряд, неидеальный КПД и погодные условия) -- а это в вашем случае получается автомобильный аккум где-то на 65-70Ач, цены уж сами найдете в своем регионе, но под 100 у.е. МОжно дешевле но в большой ущерб надежности и добавит геморройности в сборке и обслуживании.
2) Расчет солнечных панелей прост -- берете модулей с запасом процентов в 25-30 хотя бы, на деградацию и неидеальные погодные условия.
Условно вам нужно получить около 500Ваттчасов за световой день, т.е. мощность солнечной батареи должна быть выше -- около 70-80Вт. Лучше брать с высоким напряжением и малым током и потом подгонять до напряжения аккумулятора (13.8-14В в цикле).
И я бы еще добавил возможность включения вывески при перезаряде аккумулятора, чтобы исключить пробой.
Собирать просто -- панель через преобразователь к аккумулятору, от аккумулятора через реле (с арудиной) и еще один преобразователь (чтобы поддерживать стабильное напряжение 11.5В на выходе в любых условиях, а пониженное -- чтоб лента дольше жила) к светодиодам. + повесить на ту же ардуину следилку за напряжением на аккуме -- если ниже 10.8В, принудительно отрубать питалово на ленты и уходить в режим низкого энергопотребления.